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1 行列の作成

行列の成分となるベクトルと、行数と列数のどちらかがあれば行列をつくれます。両方指定しても問題ないです。

matrix(1:10, 2)
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]    1    3    5    7    9
[2,]    2    4    6    8   10
matrix(1:10, ncol = 5)
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]    1    3    5    7    9
[2,]    2    4    6    8   10

ベクトルの要素は列ごとに割り当てていきますが、byrow = TRUEをつけると行ごとに使っていきます。

matrix(1:10, 2, byrow = TRUE)
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]    1    2    3    4    5
[2,]    6    7    8    9   10

作成時に名前をつけることもできます。行名だけ、列名だけをつけることもできます。

(m <- matrix(1:4, 2, dimnames = list(c("a", "b"), c("A", "B"))))
  A B
a 1 3
b 2 4
matrix(1:4, 2, dimnames = list(c("a", "b"), NULL))
  [,1] [,2]
a    1    3
b    2    4
matrix(1:4, 2, dimnames = list(NULL, c("A", "B")))
     A B
[1,] 1 3
[2,] 2 4

1.1 対角行列

対角行列の作成はdiagと言う関数を使うと便利です。

diag(3)
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    0    0
[2,]    0    1    0
[3,]    0    0    1

引数に数字ひとつを入れると、その大きさの単位行列になりますが、複数にすると対角成分として使います。

diag(1:3)
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    0    0
[2,]    0    2    0
[3,]    0    0    3

1.2 行と列の追加

行の追加はrbind、列の追加はcbindで行います。

rbind(m, -1:-2)
   A  B
a  1  3
b  2  4
  -1 -2
cbind(m, -1:-2)
  A B   
a 1 3 -1
b 2 4 -2

2 行列の情報

行列は、要素数、行数、列数、行名、列名の情報を取ることができます。

length(m)
[1] 4
nrow(m)
[1] 2
ncol(m)
[1] 2
rownames(m)
[1] "a" "b"
colnames(m)
[1] "A" "B"
attributes(m)
$dim
[1] 2 2

$dimnames
$dimnames[[1]]
[1] "a" "b"

$dimnames[[2]]
[1] "A" "B"

2.1 行列であるかの判別

is.*が用意されています。

is.matrix(m)
[1] TRUE
is.matrix(1:2)
[1] FALSE

クラスも定義されています。

class(m)
[1] "matrix" "array"

2.2 行名と列名の変更・削除

行名と列名は変更できます。

(rownames(m) <- c("r1", "r2"))
[1] "r1" "r2"
(colnames(m) <- c("c1", "c2"))
[1] "c1" "c2"

NULLを代入したら削除できます。

3 行列の要素の参照と代入

行列の要素は行番号と列番号はもちろん、行名と列名でも参照可能です。

# 行列を作成
# lettersはアルファベットが並んだビルトイン配列、toupperは大文字にする関数
(m <- matrix(1:9, 3, dimnames = list(letters[1:3], toupper(letters[1:3]))))
  A B C
a 1 4 7
b 2 5 8
c 3 6 9
m[2, 3] # 2行3列を参照
[1] 8
m["b", "C"] # 行名と列名でも参照可
[1] 8
m[1, ] # 1行目すべてをベクトルとして参照
A B C 
1 4 7 
m["a", ] # 行名でも参照可能
A B C 
1 4 7 
m[, 3] # 3列名すべてをベクトルとして参照 
a b c 
7 8 9 
m[, "C"] # 列名でも参照可能
a b c 
7 8 9 
m[5] # ベクトルとして5番目の要素を参照
[1] 5
m[c(1,3), c(1,3)] # 1行目と3行目、1列目と3列名に含まれる小行列
  A C
a 1 7
c 3 9
c(m) # 行列の成分をベクトルにする
[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9

参照と同様に代入することができます。

m[1, 1] <- 8
m[1, c(2, 3)] <- c(3, 4)
m[, 2] <- c(3, 9, 6)
m[3, ] <- c(5, 6, 1)
m["b", "C"] <- 7
m
  A B C
a 8 3 4
b 2 9 7
c 5 6 1
m[c(1,3), c(1,3)] <- 0
m
  A B C
a 0 3 0
b 2 9 7
c 0 6 0
# ベクトルと見なして9番目の要素にNAを代入
m[9] <- NA 
m
  A B  C
a 0 3  0
b 2 9  7
c 0 6 NA

NAを入れましたが、Infなども入ります。

diagを使うと対角成分に代入もできます。

diag(m) <- c(1.1, 2.2, 3.3)
m
    A   B   C
a 1.1 3.0 0.0
b 2.0 2.2 7.0
c 0.0 6.0 3.3

3.1 行と列の削除

ベクトルと同様に行番号や列番号をマイナスにすると、その行や列を削除した行列になります。

m[-2, ] # 2行目を除いた小行列
    A B   C
a 1.1 3 0.0
c 0.0 6 3.3
m[, -2] # 2列目を除いた小行列
    A   C
a 1.1 0.0
b 2.0 7.0
c 0.0 3.3
m[-2, -2] # 2行目と2列目を除いた小行列
    A   C
a 1.1 0.0
c 0.0 3.3

残す行と列のみを選択するのも方法です。

m[c(1, 3), ] # 1行目と3行目を残した小行列
    A B   C
a 1.1 3 0.0
c 0.0 6 3.3
m[, c(1, 3)] # 1列目と3列目を残した小行列
    A   C
a 1.1 0.0
b 2.0 7.0
c 0.0 3.3
m[c(1, 3), c(1, 3)] # 1, 3行目と1, 3列目を残した小行列
    A   C
a 1.1 0.0
c 0.0 3.3

4 行列の演算

統計学の教科書で使うような演算ができます。

# 同じ大きさの行列の四則演算
matrix(1:9, 3, 3) + diag(3)
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    2    4    7
[2,]    2    6    8
[3,]    3    6   10
# 転置
(m <- matrix(1:4, 2))
     [,1] [,2]
[1,]    1    3
[2,]    2    4
t(m)
     [,1] [,2]
[1,]    1    2
[2,]    3    4
# 行列積
matrix(1:6, 2) %*% matrix(-1:-6, ncol = 2)
     [,1] [,2]
[1,]  -22  -49
[2,]  -28  -64
# 逆行列
solve(m)
     [,1] [,2]
[1,]   -2  1.5
[2,]    1 -0.5
# クロネッカー積
diag(2) %x% matrix(1:4, 2, 2)
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    3    0    0
[2,]    2    4    0    0
[3,]    0    0    1    3
[4,]    0    0    2    4
# 外積
matrix(1:2, 2, 1) %o% matrix(-1:-2, 2, 1)
, , 1, 1

     [,1]
[1,]   -1
[2,]   -2

, , 2, 1

     [,1]
[1,]   -2
[2,]   -4

なお、solveはX %*% beta = yのとき、solve(X, y)としたらbetaを出す連立方程式を計算する関数で、yのデフォルトが単位行列になっています。

上三角を操作したい場合は、upper.triを使います。

4.1 行列とベクトルの演算

行列をベクトルとして扱った後、行列に戻されます。

# 行列の各要素への演算
matrix(1:9, 3, 3) %/% 5 # 5で割って端数切捨て
# ベクトルを足す
# matrix(1:9 + c(1, 3, 2), 3)と同じ結果
matrix(1:9, 3) + c(1, 3, 2)

4.2 下三角と上三角

まとめて操作するための関数があります。真偽値を戻し、diagで対角成分を含めるか否かを指定できます。

X <- matrix(1:25, 5, 5)
X[!lower.tri(X, diag = TRUE)] <- 0
X
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]    1    0    0    0    0
[2,]    2    7    0    0    0
[3,]    3    8   13    0    0
[4,]    4    9   14   19    0
[5,]    5   10   15   20   25

4.3 行列式

行列式を求める関数が用意されています。

(X <- matrix(round(runif(25, min=0.5, max=9.5)), 5))
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]    3    8    3    7    4
[2,]    3    7    1    9    7
[3,]    8    7    5    3    5
[4,]    5    7    1    7    7
[5,]    8    5    3    7    1
det(X)
[1] -1724

もちろん正方行列にしか使えません。

4.4 固有値と固有ベクトル

固有値と固有ベクトルの計算をする関数も用意されています。

(e <- eigen(X))
eigen() decomposition
$values
[1] 26.116507+0.000000i  3.785795+0.000000i -2.451151+1.646276i
[4] -2.451151-1.646276i -2.000000+0.000000i

$vectors
             [,1]           [,2]                   [,3]                   [,4]
[1,] 0.4298397+0i -0.05386765+0i  0.47029084-0.1226406i  0.47029084+0.1226406i
[2,] 0.4580369+0i  0.28907229+0i  0.22596930+0.2905922i  0.22596930-0.2905922i
[3,] 0.4770641+0i -0.91947421+0i -0.52766219+0.0000000i -0.52766219+0.0000000i
[4,] 0.4560311+0i  0.17052681+0i -0.31664285+0.1424743i -0.31664285-0.1424743i
[5,] 0.4121717+0i -0.19754310+0i -0.09249851-0.4698243i -0.09249851+0.4698243i
                 [,5]
[1,] -4.067259e-01+0i
[2,] -4.067259e-01+0i
[3,]  6.710978e-01+0i
[4,]  4.677348e-01+0i
[5,]  2.839277e-15+0i
prod(e$values) # 固有値をすべてかければ行列式になる
[1] -1724+0i

5 行列の中から指定した要素の位置を特定する

行列の場合はarr.ind=TRUEオプションをつけておくと、whichで行番号と列番号をそれぞれ得られます。

(w <- matrix((1:12)[order(runif(12))], 4, 3))
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    6    4
[2,]   10    3    5
[3,]   12    7    8
[4,]   11    2    9
(i <- which(w == 6, arr.ind = TRUE))
     row col
[1,]   1   2
w[i]
[1] 6

6 配列（array）

行列はベクトルを2次元配列と見なすものでしたが、3次元以上の配列と見なす事もできます。

(a <- array(1:24, c(2, 3, 4)))
, , 1

     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    3    5
[2,]    2    4    6

, , 2

     [,1] [,2] [,3]
[1,]    7    9   11
[2,]    8   10   12

, , 3

     [,1] [,2] [,3]
[1,]   13   15   17
[2,]   14   16   18

, , 4

     [,1] [,2] [,3]
[1,]   19   21   23
[2,]   20   22   24
array(1:24, c(2, 3, 4), dimnames = list(c("a", "b"), c("A", "B", "C"), c("alpha", "beta", "gamma", "delta")))
, , alpha

  A B C
a 1 3 5
b 2 4 6

, , beta

  A  B  C
a 7  9 11
b 8 10 12

, , gamma

   A  B  C
a 13 15 17
b 14 16 18

, , delta

   A  B  C
a 19 21 23
b 20 22 24

行列と同様に参照と代入と演算ができます。%*%や%x%や%o%も定義されています。また、多次元配列のうち2次元を取り出すと、行列になります。